無限循環數如何相加才能得到一個有限數的和？
這是芝諾悖論後又一個困擾著諸多數學傢們的難題。在芝諾悖論中，一個人如果要過街，他首先走完總程的1/2，接著走完剩下1/2的1/2，以此類推，無窮盡也。幾個月前有一個視頻認為：
1 + 2 + 3 +….的和為-1/12，一時間被瘋狂轉載，網絡上頓時掀起熱烈討論。
不過說到無窮數謎，大多數人第一次遇到的就是：0.999……無限重復下去，最後會等於1麼？
從魔獸世界遊戲中的留言板到安·德蘭論壇，大傢對這個問題的爭論非常火爆。對於芝諾悖論，大多數人都覺得題中人最後會到達街對過。可同樣的情形放到循環小數裡，直覺就會告訴你0.999……怎麼也不會等於1啊。光是看就知道0.999……比1小，但是差的卻不多……大傢都認為0.999……這個數隻是不斷接近目標，卻永遠也不會達到。
不過，他們的老師(包括我在內)，會說：錯，0.999……就是1。
想要說服人們站到我這邊，我就要用下面的方法：
眾所周知，0.33333……=1/3
兩邊同時乘以3得到0.999…= 3 / 3 = 1
如果這還不足以讓你動搖，試試把0.999…乘上10，也就是將小數點向右挪瞭一位，所以我們得到瞭
10 x (0.999…) = 9.999…
現在把兩邊的煩人小數都去掉，我們在等式兩邊同時減去0.999……
10 x (0.999…) - 1 x (0.999…) = 9.999…- 0.999…..
得到瞭9 x (0.999…) = 9.
什麼數乘以9會等於9？自然是1。
對於大部分人，這種證明方法就足夠瞭。但是老實說，這套證明體系缺瞭點什麼，也沒有真正解決0.999……=1的不確定。事實上這種手段隻是用瞭些代數上的小把戲，你不會真的以為1/3=0.333……吧？
比起相信1/3=0.333……，其實還有更可怕的：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…?
省略號在這裡的意思是相加過程會永遠持續下去，每次相加的數字大小都是上一次的兩倍。這麼大的和毋庸置疑應該是無窮大瞭。但是你試試乘以2，會發生什麼？
2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +….) = 2 + 4 + 8 + 16 +…
好像和原來的和差不多，隻是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…)前面多瞭個1，所以(2 + 4 + 8 + 16 +…)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…)小1，換句話說：
2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…) = -1
相減得到：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…= -1
將越來越大的數字相加無限次，結果卻等於-1？
更瘋狂瞭來瞭，求下列無窮和：
1–1 + 1–1 + 1–1 +…
有人會這樣理解：
(1-1) + (1-1) + (1-1) +…= 0 + 0 + 0 +…
除瞭上面這種和為0的觀點，還有一種理念認為應該這樣看待算式：
1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) -…= 1–0–0–0…
結果和為1，到底是0還是1？還是“一半時間是0，一半時間是1？”最後的值是多少取決於你停在那裡，但是無窮和是不會停的！
先不要著急下結論，我們先假設T是這個神秘的和：
T = 1–1 + 1–1 + 1–1 +…
兩邊同時取負
-T = -1 + 1 - 1 + 1 -…
我們註意到右邊剛好是T-1，也就是說：
-T = -1 + 1 - 1 + 1 -…= T - 1
所以-T = T - 1,這個方程隻有當T=1/2時才有解。一個由許多整數相加的無窮和到最後竟然神奇地出現瞭分數解？
你是不是還是覺得沒有道理？但是包括意大利數學傢格蘭迪在內的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…最後會出現分數解，許多時候，人們將1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…稱為格蘭迪級數。在1703年發表的一份文章中，格蘭迪認為這個發散級數的和應為1/2，這個不可思議的結論也代表瞭宇宙從無到有的造物過程，許多當時的著名數學傢，包括萊佈尼茨和歐拉都贊同格蘭迪的計算，不過不包括他的證明過程。
實際上，0.999……之謎的答案還需要更深入的探索。你無須勉強同意我的代數解法，你完全可以堅持認為0.999…不等於1，而等於1減去一個無窮小的數。既然說到這裡，0.333……同樣不等於1/3，同樣差無窮小的那麼一點點。要證明這點需要一點力氣，不過也不是做不到。在數學領域，非標準分析這門學科就是專門研究這種數字問題的。非標準分析理論由亞伯拉罕·羅賓遜在20世紀中期創立，也正是非標準分析的出現，人們才終於搞清楚瞭無窮數的概念。要研究無窮數，你不僅要研究無窮小數，還要研究無窮大數。
好吧，回到我們的問題上來，0.999…到底是什麼？是1麼？還是比1小無窮小的數？
現在揭曉正確答案：0.999……可以表達為：
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +…
這又是什麼意思？其實看著讓人厭煩的省略號才是真正的問題所在。如果我們有100堆東西，我們還是可以數得出具體數量。但是無窮多我們要怎麼辦？問題變得不一樣瞭。真實世界絕不可能出現無窮多的“堆”。那麼無窮和的數學值又是什麼？答案是——除非我們給於一個值，否則不存在這樣一個值。法國數學傢柯西提出瞭這個偉大創新理念，他在19世紀20年代將極限這個概念引入瞭微積分。
偉大數學傢哈代在《發散級數》一書中很好的解釋瞭這個問題：
“除非符號分配被定義，現代數學傢從來不會認為數學符號有‘意義’，即便是18世紀最偉大的數學傢也不覺得定義符號是件瑣碎的事情。現在的數學傢們都沒有定義的習慣：他們覺得寫上“我們將X定義為Y”這麼許多字相當不自然。”在柯西之前，大多數數學傢都會問“1 - 1 + 1 - 1 +…等於幾？”，他們不會問“如何去定義1 - 1 + 1 - 1 +…？”這種思維習慣讓這些數學傢陷入不必要的困惑和爭論中。
隨著你0.9 + 0.09 + 0.009 +…不斷相加下去，最後的值會越來越接近1。最後這個無窮和會隨著無窮的相加，最終到達1，並且永遠留在1的位置。哈代則認為，這個無窮數應該被簡單地定義為1，他也花瞭一番功夫證明這樣定義不會造成其它地方出現什麼大矛盾。
對於格蘭迪級數1 - 1 + 1 - 1 +…，柯西的理論不管用瞭。用Lindsay Lohan的名言說就是：極限不存在！
崇尚柯西解法的挪威數學傢Niels Henrik Abel在1828年寫道：“發散級數是惡魔發明出的東西，任何基於發散級數的證明都是自取其辱。”而哈代的觀點(也是我們今天的觀點)更為寬容。對於某些發散級數，我們可以賦值，對於另一些發散級數，我們則不應該賦值。現代數學傢會說如果要對格蘭迪級數賦予一個值，那麼就應該是1/2，因為在所有關於無窮和的理論中，但凡能夠引起一些註意的，要麼認為這個級數的值為1/2，要麼像柯西一樣拒絕賦值。1+2+3+4……這個級數的情況也很相似，這是一個發散級數，柯西會說這個級數沒有值。但是如果真的要給這個級數一個值的話，-1/12可能是最好的選擇。
0.999…這個問題之所以能引起如此大的爭論，因為它與我們的直覺不符。我們希望任何一個無窮級數都恰好能夠符合運算操作，所以好像0.999……需要等於1。另一方面，我們希望每個數字都有一串唯一的小數位數表示，這就與同樣一個數既可以用1表示，也可以用0.999…表示相矛盾。兩種願望無法共存，所以必須舍棄其中一個。柯西用獨一無二的十進制展開打開瞭一扇解決這個問題的窗戶，在提出後的2個世紀裡，這種解法的價值得到瞭充分證明。
雖然英語有時候使用兩種不同字母串(例如，兩個單詞)來表示世界中一樣相同東西的兩種同義詞，但是我們並沒有因此產生任何困擾。同樣的，兩種不同的數字串表示同一個數字也不是什麼天塌下來的事情。
0.999……等於1麼？沒錯，0.999……確實等於1。前提是我們大傢一致同意這個不斷重復的無窮小數的意思就是1。
Orignal From: 0.999...到底應該等於1嗎
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